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Teorema de Pitágoras

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Demonstração do Teorema de Pitágoras
Exercícios resolvidos
Actividade

 
Os antigos egípcios usavam uma corda com 13 nós igualmente espaçados para determinar um ângulo recto e, do mesmo modo, determinar a perpendicular a uma dada recta.

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A corda de 13 nós igualmente espaçados ficava dividida em 12 partes iguais.

Um homem A segurava os dois nós extremos (o 1º e o 13º); um segundo homem B segurava o 4.º nó; e um terceiro homem C segurava o 8.º nó.

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Afastavam-se então, de forma a que a corda entre eles ficasse bem esticada.

Quando isso acontecia, tinha-se formado um triângulo rectângulo e, consequentemente, também um ângulo recto.

E se quisesse determinar a perpendicular a uma recta r, bastaria que os homens A e B se colocassem sobre r. Neste caso, a recta definida pela corda segurada pelos homens B e C dá a perpendicular a r.

Efectivamente esta técnica permite construir um triângulo cujos lados medem 3 e 5, referidas à unidade de comprimento definida por dois nós consecutivos.

Ora, estas medidas verificam o teorema de Pitágoras.

Com efeito 32+42 =52, ou seja, 9+16=25. E como o teorema de Pitágoras diz respeito a triângulos rectângulos, é de admitir que este triângulo seja rectângulo, onde o ângulo recto se opõe ao lado de medida 5 (hipotenusa).

 

Estes conhecimentos permitem resolver certo tipo de problemas práticos tais como o das marcações das propriedades do antigo Egipto que as cheias do Nilo modificavam e faziam desaparecer todos os anos.

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Corda de nós
 

Teorema de Pitágoras no Espaço

 

Começou por se estudar o Teorema de Pitágoras no plano. A aplicação do teorema em triângulos rectângulos que se definem no espaço permite resolver muitos problemas

Já visitaste a região lagunar de Aveiro?

É uma região belíssima, de horizontes amplos, a que a ria não é alheia.

Os habitantes desta região dedicaram-se durante largos séculos à extracção do sal, por cristalização a partir da água salgada da ria. Em ambas as margens da ria erguiam-se os montes de sal.

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Supõe que um monte de sal é um modelo satisfatório de um cone de revolução.

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Relembra: O cone de revolução é gerado por um triângulo rectângulo [ABC] que roda uma volta completa (uma revolução) em torno de um dos seus catetos, neste caso [A B].

O cateto [AB] é o eixo do cone de revolução (altura do cone).

O cateto [BC] é o raio da base do cone.

A hipotenusa [AC] é a geratriz.

Voltemos ao monte de sal.

Supõe que dispunhas de uma fita métrica. Como determinarias a altura do cone?

O teorema de Pitágoras dá-te uma ajuda.

Pitágoras no Espaço - A pirâmide do Louvre em Paris

Nos jardins do Museu do Louvre, em Paris, foi construída recentemente uma pirâmide quadrangular regular cujas faces laterais são em vidro.

O lado da base tem 34 m e a altura da pirâmide é 22 m.

Que área de vidro foi necessária para a sua construção?

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A diagonal de um paralelepípedo rectângulo

 

Uma caixa de sapatos é um bom modelo de um paralelepípedo rectângulo.

O paralelepípedo rectângulo tem:

6 faces rectangulares.

8 vértices: A, B, C, D, E, F, G, H.

12 arestas: [AB], [BC], [CD], [DA], [EF], [FG], [GH], [HE], [AE], [BF], [CG] e [DH]

Além disso:

As faces que se intersectam estão contidas em planos perpendiculares.

As faces opostas estão contidas em planos paralelos.

Dois vértices que não pertençam à mesma face dizem-se opostos.

- São opostos:{(A, G), (B, H), (C, E), (D, F)}.

- Não são opostos, por exemplo:

(A, C), uma vez que pertencem à mesma face, [ABCD].

(A, F), uma vez que pertencem à mesma face, [AEFB].

O segmento de recta que une dois vértices opostos de um paralelepípedo rectângulo denomina-se diagonal. Então, [AG], [BH], [CE] e [DF] são diagonais.

Vamos aplicar o teorema de Pitágoras para determinar a medida da diagonal de um paralelepípedo rectângulo de dimensões a, b e c.

Como classificarias o triângulo [EFG]?

Podes ter algumas dúvidas, porque a figura está construída de modo a dar a ideia de espaço tridimensional e o rectângulo [EFGH] está deformado. Mas ele é realmente um rectângulo e [EFG] é um triângulo rectângulo em F.

A que será igual a medida de [EG] (designada por x na figura)?

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Trabalho realizado para a disciplina de NTE - UPT